普通物理学Ⅰ（H）¶

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任课教师：路欣

Solving problems in the view of vectors¶

Dimension¶

类似单位，但是以具体的量表述，如\(m(米) \rightarrow [length]\),\(s(秒) \rightarrow [time]\),\(kg(千克) \rightarrow [mass]\)

向量的单位/Dimension

向量的单位/Dimension就是其对应标量（module）的单位/Dimension。
因此单位向量的Dimension等于一般向量的Dimension除以其module的单位，也就是1
So unit vectors are dimensionless.

Work-Kinetic Energy/Momentum Principle¶

Conservative Force¶

保守力：做功大小与路径/过程无关，只与初末位置/状态有关的力，如重力、弹力、电场力。
保守力的做功等于对应势能的增量，即\(W = -\Delta U\)

Center of Mass(CM)¶

\(x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \cdots + m_nx_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n}\)
对于含有大量微粒的系统，其质心由求和转变为积分
\(x_{cm} = \lim_{\Delta m \to 0} \frac{\sum x_i \Delta m_i}{M} = \frac{\int xdm}{M}\)

CM Frame(质心系)¶

质心系是一个特殊的惯性系，质心系中的物体的总动量为0。质心可视为虚拟的质点。质心的质量为质点系所有质点质量之和。
\(\vec{v}_{cm} = \frac{\sum m_i\vec{v}_i}{\sum m_i}\)
\(\vec{a}_{cm} = \frac{\sum m_i\vec{a}_i}{\sum m_i}\)

质心动量¶

质点系总动量等于质心动量，即\(\sum m_i\vec{v}_i = (\sum m_i)\frac{\sum m_i\vec{v}_i}{\sum m_i} = (\sum m_i)\vec{v}_{cm}\)
因此质心动量的改变量等于质点系合外力的冲量。

质心动能¶

柯尼希定理：质点系的动能等于质心动能加上每个质点相对质心的动能之和，即\(E = E_{cm} + \sum E_{k,i-cm}\)

Rotational Motion¶

\(\tau = I\alpha\)(类比\(F = ma\))
其中\(\tau\)为力矩，\(I\)为转动惯量，\(\alpha\)为角加速度
\(I = \sum m_i r_i^2 = \int r^2 dm\), 与物体旋转轴的位置有关
将刚体看作许多质点集合

常见几何体转动惯量

由此可表示转动物体的动能：\(E_k = \frac{1}{2}I\omega^2\)(\(\omega\)为角速度)
与动能定理：\(\sum W = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \sum \tau d\theta = \int_{\omega_i}^{\omega_f} I\omega d\omega = \frac{1}{2}I\omega_f^2 - \frac{1}{2}I\omega_i^2\)

平行轴定理：\(I = I_{cm} + Mh^2\)，其中\(I_{cm}\)为以质心为轴的转动惯量，\(h\)为质心到新转轴的距离

角动量¶

\(L = I\omega = r \times p\)

角动量守恒：要求外力矩为0，即\(\tau_{\text{ext}} = 0\)

简谐运动¶

定义\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)，其中\(k\)为弹簧的劲度系数

则\(x = Acos(\omega t + \phi)\)
\(v = -A\omega sin(\omega t + \phi)\) \(a = -A\omega^2 cos(\omega t + \phi)\)

阻尼振动¶

\(F_{\text{damping}} = -bv\)
\(x = Ae^{-\frac{b}{2m}t}cos(\omega t + \phi)\) \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}\)

受迫振动¶

\(x = A'e^{-\frac{b}{2m}t}cos(\omega' t + \phi') + Acos(\omega t + \phi)\)

波动¶

横波：波动方向与波传播方向垂直
纵波：波动方向与波传播方向平行

透射与反射：

Destructive Interference: \(\Delta x = (n + \frac{1}{2})\lambda\)
Constructive Interference: \(\Delta x = n\lambda\)
（\(\Delta x\)为定点到两波源的距离差）

\(f(x,t) = f(x-vt)\)或\(f(x,t) = f(x+vt)\)，正号代表波向左传播，负号代表波向右传播波动方程：\(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)，其中\(v\)为波速，\(u\)为波函数，\(x\)为波传播方向，\(t\)为时间

通解为\(y(x,t) = Acos(kx - \omega t + \phi)\)，其中\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)，\(\omega = 2\pi f\)，\(\phi\)为初相位

波速：\(v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \sqrt{\frac{F}{\sigma}}\)(\(\lambda\)为波长，\(T\)为周期，\(f\)为频率，\(F\)为张力，\(\sigma\)为线密度（单位长度的质量）)

驻波：两个波源频率相同，波长相同，波速相同，波源间距为半波长的整数倍

声波¶

\(I = \frac{P}{A} = \frac{1}{2}\rho v (\omega s_{max})^2\)(\(\rho\)为介质密度，\(v\)为声速，\(\omega\)为角频率，\(s_{max}\)为最大位移
\(I\)为声强，\(P\)为声功率，\(A\)为声波通过的面积

多普勒效应¶

观测者靠近声源，频率增大；远离声源，频率减小

声源运动，观测者静止：\(f = \frac{f_0}{1 \pm \frac{v_s}{v}}\)，其中\(f\)为观测到的频率，\(f_0\)为声源发出的频率，\(v_s\)为声源速度，\(v\)为声速
声源静止，观测者运动：\(f = f_0(1 \pm \frac{v_o}{v})\)，其中\(v_o\)为观测者速度

相对论¶

Lorentz Transformation¶

B关于A的速度为\(v\).对于某个事件，A系中的坐标为\((x,t)\)，B系中的坐标为\((x',t')\)
则\(x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\),\(t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
注意到当\(v \ll c\)时，Lorentz Transformation 退化为 Galilean Transformation: \(x' = x - vt\),\(t' = t\)

速度变换¶

令\(\Delta x = x_2 - x_1\),\(\Delta t = t_2 - t_1\)
则\(\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\),\(\Delta t' = \frac{\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
定义

\(v = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) 为物体在A系中的速度
\(w = \frac{\Delta x'}{\Delta t'}\) 为物体在B系中的速度
\(u\) 为B相对于A的速度

则\(\frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x} \underrightarrow{\Delta t \to 0} \frac{dx}{dt} = w = \frac{v - u}{1 - \frac{uv}{c^2}}\)

则也可得到\(v = \frac{u + w}{1 + \frac{uw}{c^2}}\)

长度收缩：\(L' = L_0 \sqrt{(1-\frac{u^2}{c^2})}\)

时间膨胀：\(\Delta t' = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{(1-\frac{u^2}{c^2})}}\)

能量与动量¶

质速关系：\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)

\(K = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - mc^2\)（动能）

\(K_1 = m_0 c^2\) （静止能量）

总能量：\(E = K + K_1 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = mc^2\)

\(p = \frac{m_0 u}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\)

热¶

均方根速率：\(v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}\)，其中\(k\)为玻尔兹曼常数，\(T\)为温度，\(m\)为质量

最概然速率：\(v_{mp} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}\)

平均速率：\(v_{avg} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\)

\(R = 8.31J/(mol \cdot K)\)

\(k_B = \frac{R}{N_A} = 1.38 \times 10^{-23} J/K\)
于是\(PV = nRT = Nk_BT\)

线性膨胀：\(\Delta L = \alpha L \Delta T\)
体积膨胀：\(\Delta V = \beta V \Delta T\)
\(\beta = 3\alpha\)

对于真实情况下的气体，van der Waals方程：\((P + \frac{aN^2}{V^2})(V - Nb) = Nk_BT\)，其中\(a\)为分子间吸引力系数，\(b\)为分子体积

两个温度分别为T1，T2的热库通过截面积为S的细杆热传递（T1>T2），热传递速率\(\frac{dQ}{dT} = -kS \frac{T1-T2}{L}\)，\(k\)为杆材料的热传导率，\(T1 \rightarrow T2\)时有\(\frac{dQ}{dT} = -kS \frac{dT}{dx}\)

分子动能\(E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{3}{2} k_B T\)，对于大量处于某一温度的分子（宏观上已被视为气体），其速度不全为v，而是服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布：\(f(v) = 4\pi (\frac{m}{2\pi k_B T})^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2k_B T}}\)

平均碰撞次数：\(z = n_v \pi d^2 vt\)
平均自由程：\(l = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 p}\)

热力学第一定律¶

\(dU = \Delta Q - PdV\)

功：\(W = \int_{V_i}^{V_f} PdV\)
气体从\((P_1, V_1)\)到\((P_2, V_2)\)的功（等温）：\(W = \int_{V_1}^{V_2} PdV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}dV = nRTln\frac{V_2}{V_1}\)

定义\(c = \frac{dQ}{dT}\)
等容摩尔热容：\(C_v = \frac{i}{2}R\)，其中\(i\)为自由度
等压摩尔热容：\(C_p = C_v + R\)
则定义：\(\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{i+2}{i}\)

绝热过程中：\(PV^{\gamma} = C\)，\(W_{A\rightarrow B} = \frac{P_A V_A - P_B V_B}{\gamma - 1}\)

卡诺热机效率：\(\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}\)，其中\(T_1\)为高温，\(T_2\)为低温
制冷系数：\(\frac{1}{\eta} - e = 1\)

Entropy¶

\(ds = \frac{dQ}{T}\)，要求\(Q\)是可逆过程中的热量

等温过程\(S_2 - S_1 = nR \ln \frac{V_2}{V_1}\)